যুক্ত বস্তুর গতি

যখন কয়েকটি বস্তুকে দড়ি বা সুতা দিয়ে জুড়ে একটি বল দিয়ে টানা হয়, তখন কী ঘটে? চলো, ছবির উদাহরণটি দিয়ে পুরো ব্যাপারটা বুঝে নিই।

মূল ধারণা (The Core Concept):

যখন কয়েকটি বস্তু একসাথে দড়ি দিয়ে বাঁধা থাকে এবং তাদের টানা হয়, তখন সম্পূর্ণ সিস্টেমটি (সকল বস্তু) একই ত্বরণে ( $a$ ) গতিশীল হয়। দড়িগুলো অপ্রসারণশীল (inextensible) হওয়ায় কোনো বস্তু অন্য বস্তুর চেয়ে আগে বা পরে যেতে পারে না। এটাই সমস্যা সমাধানের মূল চাবিকাঠি।

আমাদের আলোচ্য সমস্যা:

তিনটি ব্লক: $m_{1} = 2 kg$ , $m_{2} = 3 kg$ , $m_{3} = 4 kg$ ।
তাদের একটি আনুভূমিক তলে দুটি দড়ি দিয়ে যুক্ত করা হয়েছে।
$m_{1}$ ব্লকের ওপর ডানদিকে $F = 18 N$ বল প্রয়োগ করা হচ্ছে।
বের করতে হবে:
(i) সিস্টেমের ত্বরণ ( $a$ ) এবং
(ii) মাঝের দড়িগুলোর টান বল ( $T_{1}$ ও $T_{2}$ )।

এই সমস্যা সমাধানের দুটি চমৎকার পদ্ধতি আছে।

পদ্ধতি ১: সিস্টেমকে একটি একক বস্তু ধরে সমাধান (Shortcut Method)

এই পদ্ধতিটি দ্রুত ত্বরণ বের করার জন্য সবচেয়ে কার্যকর।

ধাপ ১: সম্পূর্ণ সিস্টেমের ত্বরণ ( $a$ ) নির্ণয়

যুক্তি: যেহেতু সবগুলো ব্লক একসাথে একই ত্বরণে চলছে, আমরা কল্পনা করতে পারি যে এই তিনটি আলাদা ব্লক আসলে একটিমাত্র বড় ব্লক, যার ভর হলো সবগুলোর ভরের যোগফল।

সিস্টেমের মোট ভর ( $M_{s y s}$ ):

\begin{aligned} M_{s y s} & = m_{1} + m_{2} + m_{3} \\ = 2 + 3 + 4 \\ = 9 k g \end{aligned}

সিস্টেমের উপর বাহ্যিক বল ( $F_{e x t}$ ):
সম্পূর্ণ সিস্টেমটিকে বাইরের থেকে শুধুমাত্র $F = 18 N$ বলটি টানছে। দড়ির টান বল ( $T_{1}, T_{2}$ ) এখানে অভ্যন্তরীণ বল, তাই পুরো সিস্টেমের হিসাবের সময় এগুলো আসবে না।

নিউটনের সূত্র প্রয়োগ:

\begin{aligned} F_{e x t} & = M_{s y s} \times a \\ 18 & = 9 \times a \\ a & = 2 {m/s}^{2} \end{aligned}

ধাপ ২: অভ্যন্তরীণ টান বল ( $T_{1}$ ও $T_{2}$ ) নির্ণয়

এখন আমরা সিস্টেমের বিভিন্ন অংশকে আলাদা করে বা "জুম ইন" করে দেখব।

$T_{2}$ নির্ণয়:

$T_{2}$ টান বলটি কাকে টানছে? ছবিতে দেখো, $T_{2}$ শুধুমাত্র $m_{3}$ ভরের ব্লকটিকে টানছে।
তাহলে $m_{3}$ ব্লকের জন্য নিউটনের সূত্র হবে:

$T_{2} = m_{3} \times a$
$T_{2} = 4 \times 2 = 8 N$

$T_{1}$ নির্ণয়:

$T_{1}$ টান বলটি কাকে টানছে? $T_{1}$ তার পেছনের দুটি ব্লককেই, অর্থাৎ $m_{2}$ এবং $m_{3}$ -কে একসাথে টানছে।
তাহলে আমরা ( $m_{2} + m_{3}$ ) ভরের একটি যুগ্ম বস্তু কল্পনা করতে পারি।

\begin{aligned} T_{1} & = (m_{2} + m_{3}) \times a \\ T_{1} & = (3 + 4) \times 2 \\ = 14 N \end{aligned}

এই পদ্ধতিটি MCQ বা দ্রুত উত্তর বের করার জন্য সেরা।

পদ্ধতি ২: প্রতিটি বস্তুর জন্য আলাদা সমীকরণ গঠন (Detailed Method)

এই পদ্ধতিটি একটু দীর্ঘ কিন্তু এটি মূল ভিত্তি এবং লিখিত পরীক্ষার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ।

ধাপ ১: প্রতিটি বস্তুর জন্য Free Body Diagram (FBD) কল্পনা ও সমীকরণ গঠন

$m_{1}$ ব্লকের জন্য:

ডানদিকে প্রযুক্ত বল = $F$
বামদিকে দড়ির টান = $T_{1}$
যেহেতু বস্তুটি ডানদিকে $a$ ত্বরণে যাচ্ছে, লব্ধি বল $\sum F_{1} = F - T_{1}$ ।
সমীকরণ
(i): $F - T_{1} = m_{1} a ⟹ 18 - T_{1} = 2 a$

$m_{2}$ ব্লকের জন্য:

ডানদিকে টান = $T_{1}$
বামদিকে টান = $T_{2}$
বস্তুটি ডানদিকে $a$ ত্বরণে যাচ্ছে, তাই লব্ধি বল $\sum F_{2} = T_{1} - T_{2}$ ।
সমীকরণ
(ii): $T_{1} - T_{2} = m_{2} a = 3 a$

$m_{3}$ ব্লকের জন্য:

ডানদিকে টান = $T_{2}$
বামদিকে কোনো বল নেই।
লব্ধি বল $\sum F_{3} = T_{2}$ ।
সমীকরণ
(iii): $T_{2} = m_{3} a = 4 a$

ধাপ ২: সমীকরণ সমাধান

এখন আমাদের কাছে তিনটি অজানা রাশি ( $a, T_{1}, T_{2}$ ) এবং তিনটি সমীকরণ আছে।

ত্বরণ ( $a$ ) নির্ণয়:
আমরা যদি তিনটি সমীকরণ যোগ করি, তাহলে অভ্যন্তরীণ টান বলগুলো কাটাকাটি হয়ে যাবে।

(i) + (ii) + (iii) $⟹$

\begin{aligned} (18 - T_{1}) + (T_{1} - T_{2}) + T_{2} & = 2 a + 3 a + 4 a \\ 18 & = (2 + 3 + 4) a \\ 18 & = 9 a \\ a & = 2 {m/s}^{2} \end{aligned}

টান বল নির্ণয়:
এখন $a$ এর মান সমীকরণগুলোতে বসিয়ে টান বল বের করি।

সমীকরণ (iii) থেকে $T_{2}$ নির্ণয়:
$T_{2} = 4 a = 4 \times 2 = 8 N$

সমীকরণ (ii) থেকে $T_{1}$ নির্ণয়:
$T_{1} - T_{2} = 3 a$
$T_{1} - 8 = 3 \times 2 = 6$
$T_{1} = 6 + 8 = 14 N$

গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ (Exam Tips)

সবচেয়ে পেছনের দড়িতে টান সবচেয়ে কম থাকে ( $T_{2} = 8 N$ ), কারণ এটি শুধু পেছনের ব্লকটিকে টানে।
সামনের দিকের দড়িতে টান ক্রমান্বয়ে বাড়তে থাকে ( $T_{1} = 14 N$ ), কারণ তাকে তার পেছনের সবগুলো ব্লককে টানতে হয়।
Technique: প্রথমে পদ্ধতি ১ ব্যবহার করে দ্রুত $a$ এর মান বের করবে। তারপর সেই $a$ ব্যবহার করে যেকোনো একটি ব্লকের সমীকরণ থেকে টানের মান বের করবে। এতে সময় বাঁচবে এবং নির্ভুলভাবে উত্তর করা যাবে।